إذا كان فإن ناتج الضرب الداخلي للمتجهين

إذا كان فإن ناتج الضرب الداخلي للمتجهين. الإجابة الصحيحة هي : -٣٢.

إذا كان فإن ناتج الضرب الداخلي للمتجهين

في الجبر الخطي، يمثل الضرب الداخلي عملية حسابية بين متجهين في فضاء متجهي حقيقي أو عقدي. ينتج عن هذه العملية قيمة عددية تعبر عن مدى تشابه المتجهين في الاتجاه. إذا كان المتجهان متعامدين بشكل عمودي، فإن ناتج الضربهما الداخلي سيكون صفراً. ومن ناحية أخرى، إذا كان المتجهان متطابقين في الاتجاه، فسيكون ناتج الضرب الداخلي لهما يساوي مربع طول أحد المتجهين.

خصائص الضرب الداخلي

تتميز عملية الضرب الداخلي بالخصائص التالية:

التناظر: ناتج الضرب الداخلي للمتجهين غير متغير بالترتيب. أي أن $<u,v>=<v,u>$.

التوزيعية: الضرب الداخلي توزيعي فيما يتعلق بالجمع والطرح. أي أن $<u,v+w>=<u,v>+<u,w>$.

الإيجابية المحددة: ناتج الضرب الداخلي لمتجه غير صفري يكون دائمًا موجبًا. أي أن $<u,u>>0$ إذا لم يكن $u=0$.

متعامدات ومستويات فرعية

المتعامدات: متجهان متعامدان إذا كان ناتج الضرب الداخلي لهما صفراً. أي أن $<u,v>=0$.

المستويات الفرعية: المستوى الفرعي هو مجموعة من المتجهات المتعامدة مع متجه معين. أي أن المستوى الفرعي للمتجه $u$ هو المجموعة $\{v\in V:<u,v>=0\}$.

إسقاط متجه على مستوى فرعي

إسقاط المتجه على مستوى فرعي: يمكن إسقاط متجه على مستوى فرعي عن طريق إيجاد متجه في المستوى الفرعي له نفس الاتجاه. ويتم ذلك عن طريق إيجاد متجه الوحدة في المستوى الفرعي وإضربه في ناتج الضرب الداخلي للمتجه الأصلي ومتجه الوحدة.

صيغة الإسقاط: صيغة الإسقاط للمتجه $v$ على المستوى الفرعي للمتجه $u$ هي $v_{\left|\right|u}=\frac{<v,u>}{<u,u>}u$.

خصائص الإسقاط: يمتلك الإسقاط الخصائص التالية: $<v,v_{\left|\right|u}>=<v_{\left|\right|u},v_{\left|\right|u}>=\frac{{<v,u>}^2}{<u,u>}$.

التطبيقات

للضرب الداخلي تطبيقات عديدة في مجالات مختلفة، منها:

الجبر الهندسي: تستخدم في حساب الزوايا والمسافات بين المتجهات في الفضاء.

التحليل العددي: تستخدم في حل أنظمة المعادلات الخطية والتحسين.

الفيزياء: تستخدم في حساب الطاقة والزخم في أنظمة الميكانيكا.

الرسومات الحاسوبية: تستخدم في إضاءة المشهد وتحديد التصادمات بين الأشياء.

يعد الضرب الداخلي عملية أساسية في الجبر الخطي وتطبيقاته. فهو يوفر طريقة لقياس مدى التشابه بين المتجهات، ويسمح لنا بإسقاط المتجهات على مستويات فرعية وإجراء حسابات هندسية مختلفة. للضرب الداخلي أهمية كبيرة في مجموعة واسعة من التطبيقات في الرياضيات والعلوم والهندسة.