١، ٣، ٧، ١٥،…،

١، ٣، ٧، ١٥،…،

متوالية هندسية: 1، 3، 7، 15، …

مقدمة

المتوالية الهندسية هي متوالية حيث يكون نسبة كل حدين متتاليين ثابتًا. في حالة المتوالية 1، 3، 7، 15،…، هذه النسبة الثابتة هي 3.

خصائص المتواليات الهندسية

نسبة مشتركة ثابتة: في أي متوالية هندسية، يكون حاصل قسمة أي حد على الحد السابق ثابتًا. في حالة متوالية 1، 3، 7، 15،…، النسبة المشتركة هي 3.


الحد العام: يمكن إيجاد أي حد في المتوالية باستخدام صيغة الحد العام: $ a_n = a_1 \cdot r^n-1 $ حيث:
– $a_n$ هو الحد رقم $n$ في المتوالية.
– $a_1$ هو الحد الأول في المتوالية.
– $r$ هي النسبة المشتركة.
– $n$ هو رقم الحد.
مجموع أول $n$ حد: يمكن إيجاد مجموع أول $n$ حد في المتوالية باستخدام صيغة مجموع أول $n$ حد: $ S_n = \fraca_1 (r^n – 1)r – 1 $ حيث:
– $S_n$ هو مجموع أول $n$ حد.
– $a_1$ هو الحد الأول في المتوالية.
– $r$ هي النسبة المشتركة.
– $n$ هو رقم الحد.

تطبيقات المتواليات الهندسية

تُستخدم المتواليات الهندسية في مجموعة واسعة من التطبيقات، بما في ذلك:

النمو السكاني
النمو المالي
الانحلال الإشعاعي
الدارات الكهربائية
التحليل الحسابي

أمثلة على المتواليات الهندسية

إلى جانب المتوالية 1، 3، 7، 15،…، هناك العديد من الأمثلة الأخرى على المتواليات الهندسية:

2، 4، 8، 16، … (النسبة المشتركة: 2)

1000، 500، 250، 125، … (النسبة المشتركة: 0.5)
1/2، 1/4، 1/8، 1/16، … (النسبة المشتركة: 1/2)

الخصائص الجبرية للمتواليات الهندسية

تتمتع المتواليات الهندسية بالعديد من الخصائص الجبرية، بما في ذلك:

يمكن ضرب أي متوالية هندسية في عدد ثابت للحصول على متوالية هندسية أخرى.
يمكن قسمة أي متوالية هندسية على عدد ثابت مختلف عن الصفر للحصول على متوالية هندسية أخرى.
حاصل ضرب متواليتين هندسيتين يكون متوالية هندسية.
ناتج قسمة متواليتين هندسيتين يكون متوالية هندسية، طالما أن المقام غير صفري.

التمثيل البياني للمتواليات الهندسية

يمثل التمثيل البياني للمتوالية الهندسية منحنى لوغاريتمي. إذا تم رسم حدود المتوالية بالنسبة لقيم أسية للمؤشر، فإن النقاط الناتجة ستقع على خط مستقيم. ميل هذا الخط يساوي لوغاريتم النسبة المشتركة.

الاستنتاج

المتواليات الهندسية عبارة عن متواليات مهمة لها تطبيقات واسعة في مجموعة متنوعة من المجالات. تتميز بنسبتها المشتركة الثابتة ويمكن وصفها بخصائصها الجبرية وتمثيلها البياني. من خلال فهم المتواليات الهندسية، يمكننا حل المشكلات المتعلقة بالنمو والانحلال واستخدامها لنمذجة مجموعة متنوعة من الظواهر الحقيقية.