( هي طريقه لايجاد القيمه العظمى او الصغرى لداله تحت قيود معينه كل منها عباره عن متباينه خطيه )

( هي طريقه لايجاد القيمه العظمى او الصغرى لداله تحت قيود معينه كل منها عباره عن متباينه خطيه )

إيجاد القيمة العظمى أو الصغرى لدالة تحت قيود خطية

تُستخدم طريقة القيود الخطية (Lagrange Multipliers) لإيجاد القيم العظمى والصغرى لدالة تحت قيود معينة. تتكون القيود عادةً من متباينات خطية، أي معادلات خطية تحتوي على علامات عدم المساواة (≤ أو ≥).

خطوات طريقة القيود الخطية

1. تعيين دالة الهدف: حدد الدالة التي تريد إيجاد قيمتها العظمى أو الصغرى لها.
2. تعيين القيود: حدد المتباينات الخطية التي تمثل القيود التي يجب أن تفي بها المتغيرات.


3. إنشاء دالة لاغرانج: اصنع دالة لاغرانج عن طريق الجمع بين دالة الهدف والقيود مضروبة في معاملات لاغرانج (λ).

4. إيجاد نقاط السرج: احسب مشتقات دالة لاغرانج الجزئية بالنسبة لجميع المتغيرات، بما في ذلك معاملات لاغرانج، واضبطها على الصفر.
5. حل نظام المعادلات: حل نظام المعادلات الناتج لإيجاد قيم المتغيرات ومعاملات لاغرانج.
6. اختبار نقاط السرج: اختبر كل نقطة سرج باستخدام مصفوفة هيس لمعرفة ما إذا كانت القيمة العظمى أو الصغرى أم لا.

7. اختيار الحل: اختر الحل الذي يلبي القيود الأصلية ويوفر القيمة العظمى أو الصغرى المطلوبة.

الحالات الخاصة

قيود المساواة: إذا كانت جميع القيود معادلات مساواة، فإن طريقة لاغرانج تتبسط إلى طريقة المضاعفات.
دالة لاغرانج السالبة: إذا كانت دالة لاغرانج سالبة في نقطة سرج، فإن النقطة تمثل الحد الأدنى المحلي.
دالة لاغرانج الموجبة: إذا كانت دالة لاغرانج موجبة في نقطة سرج، فإن النقطة تمثل الحد الأقصى المحلي.

أمثلة

مثال 1: إيجاد الحد الأقصى لدالة تحت قيد واحد

احسب الحد الأقصى لدالة f(x, y) = x + y تحت القيد x + 2y ≤ 6.

مثال 2: إيجاد الحد الأدنى لدالة تحت قيدين

احسب الحد الأدنى لدالة f(x, y) = x² + y² تحت القيود x + y ≤ 4 و x – y ≥ 2.

مثال 3: إيجاد نقاط السرج لدالة تحت قيد غير خطي

أوجد نقاط السرج لدالة f(x, y) = x + y تحت القيد x² + y² ≤ 1.

تطبيقات طريقة القيود الخطية

توجد تطبيقات عديدة لطريقة القيود الخطية، بما في ذلك:

تحسين الدوال
البرمجة الخطية
الاقتصاد والتمويل
الفيزياء والهندسة

خاتمة

طريقة القيود الخطية هي أداة قوية لإيجاد القيم العظمى والصغرى للدوال تحت القيود. من خلال الجمع بين دالة الهدف والقيود في دالة لاغرانج، يمكننا إيجاد نقاط السرج التي تمثل الحلول الممكنة. اختبار نقاط السرج يحدد ما إذا كانت القيم العظمى أو الصغرى أم لا.